自然数とは？0は含む？整数・実数との違いをわかりやすく解説

自然数とは、ものを数えるときに使う「1, 2, 3, 4, …」という数のことです。日本の学校数学（中学・高校）では、0は自然数に含めません。この記事では、自然数の定義、0を含むかどうかの議論、整数・有理数・実数との違いと包含関係を、例題付きでわかりやすく解説します。

自然数とは？定義をわかりやすく

自然数 = 1, 2, 3, 4, 5, … と続く「正の整数」のこと（日本の学校数学の定義）

自然数は、りんごが1個、2個…と「ものを数える」ときに自然に使われる数なので、この名前がついています。ポイントは次の3つです。

最小の自然数は1（学校数学の場合）
自然数はどこまでも続き、最大の自然数は存在しない
負の数（-1, -2, …）、小数（0.5など）、分数（1/2など）は自然数ではない

たとえば「3」は自然数ですが、「-3」「0.3」「3.5」「√3」は自然数ではありません。

0は自然数に含まれる？

「0は自然数ですか？」は、実はよくある質問であり、立場によって答えが変わるテーマです。

日本の学校数学では「0を含めない」

日本の中学校・高校の数学では、自然数は 1, 2, 3, … であり、0は自然数に含めません。定期テストや高校入試・大学入試もこの前提で出題されます。「0以上の整数」を指したいときは、自然数ではなく「0以上の整数」「非負整数」という言い方をします。

大学以降や海外では「0を含める」流儀もある

一方、大学の数学（特に集合論や論理学）や、フランスなど一部の国の教育、プログラミングの世界では、0を自然数に含める流儀が広く使われています。「ものの個数」を考えるとき、「1個もない = 0個」も個数の一種とみなすほうが理論上便利だからです。

テストで迷ったら「日本の学校数学では0は自然数に含めない」と覚えておけばOKです。大学以降は、本や分野によって定義を確認する習慣をつけましょう。

整数・有理数・実数との違いと包含関係

自然数のまわりには、整数・有理数・実数といった「数の仲間」があります。関係を表で整理しましょう。

数の種類	含まれる数の例	説明
自然数	1, 2, 3, 100	正の整数
整数	-3, -1, 0, 1, 2	自然数に0と負の整数を加えたもの
有理数	-1/2, 0, 3, 0.25, 2/3	分数（整数 ÷ 整数）で表せる数
無理数	√2, √3, π	分数で表せない数（循環しない無限小数）
実数	上のすべて	有理数と無理数を合わせたもの（数直線上のすべての点）

包含関係は「マトリョーシカ」のイメージ

数の世界は、小さい集合が大きい集合にすっぽり含まれる入れ子構造になっています。

自然数 ⊂ 整数 ⊂ 有理数 ⊂ 実数

つまり、すべての自然数は整数であり、すべての整数は有理数であり、すべての有理数は実数です。逆は成り立ちません。たとえば -2 は整数ですが自然数ではなく、0.5 は有理数ですが整数ではありません。

間違えやすいポイント

0は「整数」だが「自然数」ではない（日本の学校数学）
3 = 3/1 と書けるので、整数はすべて有理数でもある
0.333… のような循環小数は 1/3 と書けるので有理数
√2 = 1.41421356… は分数で表せないので無理数（実数ではある）

数直線でイメージしよう

数直線を思い浮かべると、数の種類が整理しやすくなります。数直線上で、0より右側にある「とびとびの点」（1, 2, 3, …）が自然数です。整数は0と左側（負の側）も含めた点、有理数は分数で表せる点、そして実数は数直線を「すき間なく」埋め尽くすすべての点にあたります。有理数だけでは √2 や π の位置に穴が空いてしまい、その穴を埋めるのが無理数、両方合わせたものが実数、というイメージです。

例題で確認しよう【3問】

理解できたかどうか、例題でチェックしてみましょう。

例題1：自然数を選ぼう

次の数の中から、自然数をすべて選んでください。

-2, 0, 1, 2.5, 7, 3/4, 100

解答: 1, 7, 100

解説: 自然数は正の整数です。-2は負の数、0は自然数に含めず（学校数学）、2.5と3/4は整数ではないので自然数ではありません。

例題2：整数だが自然数でない数

次の数の中から、「整数だが自然数ではない数」をすべて選んでください。

-5, -1, 0, 3, 8

解答: -5, -1, 0

解説: 整数は「…, -2, -1, 0, 1, 2, …」の全体です。このうち自然数は正の整数（3, 8）だけなので、残りの -5, -1, 0 が「整数だが自然数ではない数」です。

例題3：数の分類

次の数を、あてはまる分類（自然数・整数・有理数・無理数）で答えてください。1つの数が複数にあてはまることもあります。

(1) 6　(2) -4　(3) 0.75　(4) √5

解答:

数	自然数	整数	有理数	無理数
(1) 6	○	○	○	×
(2) -4	×	○	○	×
(3) 0.75	×	×	○	×
(4) √5	×	×	×	○

解説: 6は自然数なので、包含関係より整数でも有理数でもあります。0.75 = 3/4 なので有理数です。√5は分数で表せないため無理数で、有理数ではありません（ただし実数ではあります）。

なお、√を含む数がすべて無理数とは限らない点にも注意しましょう。√9 = 3 のように、中身が平方数なら計算すると整数（自然数）になります。「√がついているか」ではなく「計算した結果が何か」で分類するのがポイントです。

まとめ

自然数とは 1, 2, 3, … と続く正の整数のこと
日本の学校数学では0を自然数に含めない（大学以降や海外では含める流儀もある）
包含関係は「自然数 ⊂ 整数 ⊂ 有理数 ⊂ 実数」の入れ子構造
0は整数だが自然数ではない、0.5は有理数だが整数ではない、と段階的に判断する
√2やπのような無理数は有理数ではないが、実数には含まれる